Добре того навчати, хто хоче все знати !   

(Прислів'я)   

Лабораторна робота №2

 

 

Лабораторні роботи

Тема роботи:

Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач.

Мета роботи:

Ознайомитись з методом статистичних випробувань (метод Монте-Карло), та його застосуванням для вирішення стохастичних та детермінованих задач.

 

Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло, як сказано у Вікіпедії, - це загальна назва групи чисельних методів, що базуються на одержанні великої кількості реалізацій стохастичного (випадкового) процесу, який формується у той спосіб, щоб його імовірнісні характеристики співпадали з аналогічними величинами задачі, яка вирішується.

Отже, метод Монте-Карло - це метод імітації для імовірнісного відтворення реальних явищ. Він об'єднує аналіз чутливості (сприйнятливості) і аналіз розподілення ймовірностей вхідних змінних. Цей метод дає змогу побудувати модель, мінімізуючи кількість даних, що використовуються в моделі. Побудова моделі починається з визначення функціональних залежностей у реальній системі. Після чого можна одержати кількісне рішення, використовуючи теорію ймовірності й таблиці чи генератори випадкових чисел.

Метод Монте-Карло широко використовується у більшості випадків імітаційного моделювання на ЕОМ.

Проілюструємо суть методу Монте-Карло відносно простими прикладами.

 

Приклад 1

Нехай потрібно оцінити середній час безвідмовної роботи системи, зображеної на рис. 1.1.

Схема телекомунікаційної мережі

Рис. 1.1. Блочна структура системи.

 

Система виконує свою функцію, якщо працюють послідовності блоків: 1,2,5,7; 1,3,5,7; 1,4,6,7.

Певні блоки можуть відмовити. Кожен блок характеризується часом безвідмовної роботи taui-l2. Нехай задана густина розподілу імовірності pi-l2. Яка надійність системи в цілому?

Розглянемо випадкову величину

gamma-l2

де g-l2 - час безвідмовної роботи системи.

У одному досліді розігруються значення всіх taui-l2, відповідно до pi-l2.

Використовуючи отримані реалізації  taui-l2, по вищенаведеній формулі обчислюємо реалізацію g-l2. Один дослід дає одну реалізацію (одне вибіркове значення) g-l2. Проводимо М дослідів (випробувань), отримуємо “статистичний” матеріал (вибірку). Беремо середнє арифметичне часу безвідмовної роботи системи g-l2 з р в якості оцінки надійності системи. При необхідності можна побудувати закон розподілу імовірності випадкової величини g-l2 у вигляді відповідної гістограми.

 

Приклад 2

Застосування методу статистичних випробувань для обчислення площі круга заданого радіусу.

Дане завдання відноситься до класу детермінованих, оскільки складно уявити собі випадкові фактори, під впливом яких площа нерухомої геометричної фігури могла б змінюватися.

Нехай круг має радіус r=5, і його центр знаходиться в точці з координатами (1,2). Рівняння відповідного кола має вигляд:

(x-1)2+(y-2)2=25.

Для вирішення завдання методом Монте-Карло впишемо круг в квадрат. Його вершини матимуть координати (-4,-3), (6,-3), (-4,7) і (6,7). Будь-яка точка всередині квадрата або на його межі повинна задовольняти нерівностям (-4<x<6) і (-3<y<7).

При вирішенні даної задачі природно виходити з того, що всі точки в цьому квадраті можуть з'являтися з однаковою імовірністю, тобто x і y розподілені рівномірно з густиною імовірності: 

fx-fy-l2

Провівши деяку кількість випробувань (тобто отримавши множину випадкових точок, що належать квадрату), підрахуємо число точок, що потрапили всередину круга або на коло. Якщо вибірка складається із n спостережень і m точок потрапили всередину круга або на коло, то оцінку площі круга можна отримати із співвідношення:

Skr-f-l2.

У таблиці приведені оцінки Sкр, отримані для різних значень n, причому для кожного виконувалося 5 прогонів (точне значення Sкр = 78,54 см):

Таблиця 1.1 Результати оцінки площі круга методом статистичних випробувань

 

Номер

прогону

Оцінка площі круга (Sкр)
Число випробувань (n)
100 200 1000 5000 10000
1 78 79,5 78 79,5 78,2
2 70 77 79 77,88 78,8
3 81 77,3 80,2 79,5 79,1
4 70 79,12 79,29 78,22 78,6
5 79 77,72 77,76 79 78,26
Середнє 75,6 78,3 78,85 78,23 78,59
Дисперсія 21,84 0,9982 0,789 0,44 0,11

 

Прогони відрізняються один від одного послідовностями випадкових чисел, з яких формувалися координати точок.

 

Завдання.

Реалізувати в программному середовищі MATLAB® метод Монте-Карло:

  1. для обчислення площі круга заданого радіусу (методом статистичних випробувань);
  2. для блочної структури, наведеної на рис. 1.1. Обчислити час безвідмовної роботи системи, якщо густина розподілу імовірності pi-l2 носить рівномірний та нормальний характер.

 

Контрольні запитання.

 

Пошук на сайті

ХОСТИНГ

Hosting Ukraine

Перевірка робіт

Програма для перевірки унікальності тексту: